Дано:
Треугольник ABC, в котором D, E и F — основания высот, проведенных из вершин A, B и C соответственно. Точки D, E и F образуют прямоугольный треугольник DEF.
Найти:
Докажите, что один из углов треугольника DEF равен 45°.
Решение:
1. Обозначим углы треугольника ABC как угол A, угол B и угол C. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°, то есть:
угол A + угол B + угол C = 180°.
2. Так как D, E и F являются основаниями высот, то:
- угол ADF = 90°,
- угол BEF = 90°,
- угол CFD = 90°.
3. Теперь рассмотрим треугольник DEF. Поскольку он является прямоугольным (например, угол EDF = 90°), мы можем использовать свойства углов в этом треугольнике.
4. По свойству прямоугольного треугольника сумма двух острых углов равна 90°. Обозначим углы треугольника DEF как угол DEF и угол EDF:
угол DEF + угол DFE = 90°.
5. Теперь рассмотрим соотношения между углами треугольника ABC и углами треугольника DEF.
Известно, что угол DEF равен углу C, а угол DFE равен углу B. Таким образом, можно записать:
угол C + угол B = 90°.
6. Если угол C + угол B = 90°, это значит, что угол A = 90°, тогда обязательно один из углов B или C равен 45°.
7. Если угол A не равен 90°, то необходимо, чтобы угол B + угол C = 90°, что подводит нас к следующему:
если угол B = 45°, то угол C будет также равен 45°.
Ответ:
Таким образом, из вышеизложенного следует, что один из углов треугольника DEF равен 45°.