Дано:
Остроугольный треугольник ABC с высотами AH, BH и CH. Обозначим основания высот как D (на стороне BC), E (на стороне AC) и F (на стороне AB).
Найти:
Докажите, что в треугольнике DEF высоты AH, BH и CH являются биссектрисами.
Решение:
1. Согласно свойству высоты, каждая из них перпендикулярна основанию. То есть угол AHD = 90°, BHE = 90° и CHF = 90°.
2. Рассмотрим угол при вершине D в треугольнике DEF. Угол EDF равен углу ACB, а угол DEF равен углу BAC. Таким образом, угол D эквивалентен сумме углов ACB и BAC.
3. По свойству окружности, если две угловые стороны одного треугольника равны угловым сторонам другого, то они будут иметь равные углы. Таким образом, мы получаем следующее уравнение для углов при вершинах D, E и F:
∠EDF + ∠DEF + ∠FED = 180°.
4. Теперь рассмотрим треугольник AHB, где ∠AHB = 90°. Из этого следует, что высота AH является биссектрисой угла ADF, так как она делит угол ABD пополам по определению угла.
5. Аналогично, высота BH будет делить угол BEF пополам, а высота CH будет делить угол CFD пополам.
6. Таким образом, при каждом основании высоты угол, образованный двумя сторонами, пересекается с высотой, что делает его биссектрисой.
7. Это окончательно показывает, что высоты AH, BH и CH в треугольнике DEF делят соответствующие углы пополам, что и является свойством биссектрис.
Ответ:
В треугольнике DEF высоты AH, BH и CH являются биссектрисами.