Дано:
Треугольник ABC с высотами AH, BH и CH, где точки H, K и L — основания высот, образуют ортотреугольник AHBHC.
Найти:
Докажите, что высоты треугольника ABC являются биссектрисами его ортотреугольника AHBHC.
Решение:
1. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC, в котором все углы меньше 90°.
2. Обозначим углы треугольника ABC как:
- угол A = ∠A,
- угол B = ∠B,
- угол C = ∠C.
3. В соответствии с определением, высота AH делит угол A на два равных угла, то есть:
∠BAH = ∠CAH = ∠A/2.
4. Аналогично, высоты BH и CH делят соответствующие углы B и C пополам:
∠ABK = ∠CBK = ∠B/2,
∠ACL = ∠BCL = ∠C/2.
5. Теперь рассмотрим треугольник AHBHC. Известно, что сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Следовательно, для треугольника AHB мы имеем:
∠AHB = 180° - (∠BAH + ∠ABH) = 180° - (∠A/2 + ∠B/2) = 180° - (∠A + ∠B)/2.
6. То же самое можно сделать для остальных углов ортотреугольника:
∠BHC = 180° - (∠B/2 + ∠C/2),
∠CHA = 180° - (∠C/2 + ∠A/2).
7. Поскольку каждый угол в ортотреугольнике AHBHC соответствует половине угла в треугольнике ABC, это указывает на то, что высоты AH, BH и CH являются биссектрисами углов AHB, BHC и CHA соответственно.
8. Таким образом, высоты треугольника ABC пересекают углы ortho-угольника AHBHC в точках, которые делят их пополам, что подтверждает, что они действуют как биссектрисы.
Ответ:
Высоты остроугольного треугольника ABC являются биссектрисами его ортотреугольника AHBHC.