Дано:
Четырехугольник ABCD, где продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке M, а продолжения сторон AD и BC пересекаются в точке K. Условие: BK + BM = DK + DM.
Найти:
Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Решение:
1. Обозначим:
BK = x,
BM = y,
DK = z,
DM = w.
2. Из условия задачи имеем:
x + y = z + w.
3. Перепишем данное уравнение:
x - z = w - y.
4. Рассмотрим точки касания окружности с сторонами четырехугольника ABCD.
Обозначим:
Точка касания с AB – S1,
Точка касания с BC – S2,
Точка касания с CD – S3,
Точка касания с DA – S4.
5. Обозначим длины отрезков, проведенных от вершин до точек касания:
AS1 = a,
BS2 = b,
CS3 = c,
DS4 = d.
6. По свойству вписанных окружностей, длины отрезков, проведенных из одной точки к двум другим, равны:
AS1 + CS3 = BS2 + DS4.
7. Подставим обозначенные длины:
a + c = b + d.
8. Теперь применим соотношение для длин отрезков по условию:
Так как BK = x и BM = y, то через точки K и M можно выразить отрезки:
BK + BM = DK + DM,
что позволяет нам записать:
x + y = z + w.
9. Это указывает на то, что сумма длин касательных к окружности (от сегментов, соединяющих вершины A и C с точками касания) равна сумме длин касательных к окружности (от сегментов, соединяющих вершины B и D с точками касания).
10. Поскольку у нас есть равенство для сторон, это подтверждает, что суммы всех касательных, проведенных от каждой вершины, равны.
Ответ:
Следовательно, если выполняется условие BK + BM = DK + DM, то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.