Дано:
В окружность вписаны два угла, величины которых равны.
Найти:
Докажите, что они опираются на равные хорды. Верно ли обратное?
Решение:
1. Обозначим вершины углов как A и B, а соответственно концы хорд как C и D для первого угла и E и F для второго угла. Тогда углы будут равны: угол ACB = угол EDF.
2. По свойству вписанных углов известно, что величина вписанного угла равна половине величины дуги, которую он опирается. Обозначим дуги, соответствующие углам, как s(CE) и s(AF).
3. Поскольку углы равны, это означает, что:
угол ACB = угол EDF => 1/2 * s(CE) = 1/2 * s(AF).
4. Упрощая, получаем:
s(CE) = s(AF).
5. Таким образом, если дуги равны, то и хорды, на которые эти дуги опираются, тоже равны. В этом случае, хорды CE и AF равны.
6. Теперь рассмотрим обратное утверждение: если две хорды равны, опирающиеся на разные углы, значит, угол, опирающийся на одну из хорд, будет равен углу, опирающемуся на другую.
7. Обозначим равные хорды как CE и AF. Тогда по свойству равных хорд в окружности мы имеем:
CE = AF.
8. Следовательно, по свойству, если две хорды равны, то соответствующие им вписанные углы также равны:
угол ACB = угол EDF.
Ответ:
Таким образом, доказано, что если в окружность вписаны два равных угла, то они опираются на равные хорды. Обратное также верно: если хорды равны, то углы, опирающиеся на них, также равны.