дано:
1. Окружность с центром O и радиусом R.
2. Два правильных треугольника ABC и DEF, вписанные в одну и ту же окружность.
найти:
Докажите, что точки пересечения их сторон, взятые через одну, являются вершинами правильного треугольника.
решение:
1. Поскольку оба треугольника вписаны в окружность, их вершины A, B, C, D, E, F располагаются на окружности.
2. Углы между сторонами каждого треугольника равны 60°, поскольку треугольники правильные.
3. Рассмотрим пересечения сторон:
- Пересечение стороны AB треугольника ABC с стороной DE треугольника DEF обозначим как P.
- Пересечение стороны BC с стороной EF обозначим как Q.
- Пересечение стороны CA с стороной FD обозначим как R.
4. Нам нужно показать, что точки P, Q, R формируют правильный треугольник.
5. Углы, образуемые отрезками AP, BQ и CR, равны 60°. Это объясняется тем, что угол между сторонами треугольников ABC и DEF составляет 60°.
6. Все стороны PQ, QR и RP равны, так как каждая сторона треугольника PQR будет равна длине отрезка, проведённого между двумя сторонами треугольников.
7. Поскольку треугольник PQR имеет углы по 60° и все стороны равны, он является правильным треугольником.
ответ:
Точки пересечения сторон двух правильных треугольников, взятые через одну, являются вершинами правильного треугольника.