дано:
1. Окружность с центром O и радиусом R.
2. Два квадрата ABCD и EFGH, вписанные в одну и ту же окружность.
найти:
Докажите, что точки пересечения их сторон, взятые через одну, являются вершинами третьего квадрата.
решение:
1. Поскольку оба квадрата вписаны в окружность, их вершины располагаются на окружности.
2. Обозначим вершины первого квадрата как A, B, C, D и второго квадрата как E, F, G, H.
3. Поскольку квадраты вписаны, угол между сторонами каждого квадрата равен 90°.
4. Рассмотрим пересечения сторон:
- Пересечение стороны AB квадрата ABCD с стороной EF квадрата EFGH обозначим как P.
- Пересечение стороны BC с стороной FG обозначим как Q.
- Пересечение стороны CD с стороной GH обозначим как R.
- Пересечение стороны DA с стороной HE обозначим как S.
5. Вершины P, Q, R, S формируют фигуру, которую мы будем доказывать как квадрат.
6. Угол между сторонами квадратов равен 45° + 45° = 90°. Это значит, что углы PQR и QRS равны 90°.
7. Точки P и R, а также Q и S являются противоположными вершинами нового квадрата.
8. Длина отрезков PQ и QR равна длине стороны нового квадрата, так как они являются отрезками, проведёнными между сторонами двух квадратов, вписанных в одну окружность.
9. Поскольку все углы равны и все стороны равны, фигура P Q R S является квадратом.
ответ:
Точки пересечения сторон двух квадратов, взятые через одну, являются вершинами третьего квадрата.