Дано:
В окружности радиус R проведена хорда AB, равная радиусу. То есть AB = R.
Найти:
Величину угла, вписанного в эту окружность и опирающегося на данную хорду.
Решение:
1. Обозначим центр окружности как O. Поскольку AB является хордой, проведем отрезки OA и OB, которые являются радиусами и равны R.
2. В треугольнике OAB у нас имеется: OA = OB = R и AB = R.
3. Поскольку треугольник OAB является равнобедренным, углы при основании равны. Обозначим угол AOB как α. Тогда:
угол OAB = угол OBA = (180 - α) / 2.
4. Для нахождения угла α используем косинусный закон в треугольнике OAB:
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(α).
5. Подставим известные значения:
R^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(α).
6. Упрощаем:
R^2 = 2R^2(1 - cos(α)).
7. Делим обе стороны на R^2 (при R ≠ 0):
1 = 2(1 - cos(α)).
8. Переносим 1 на правую сторону:
2cos(α) = 1.
9. Итак, получаем:
cos(α) = 1/2.
10. Это соответствует углу α = 60 градусов или α = 300 градусов. Однако угол AOB в круге меньше 180 градусов, следовательно, α = 60 градусов.
11. Теперь для нахождения вписанного угла (угол ∠ACB), который опирается на хорду AB, воспользуемся тем, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:
угол ∠ACB = 1/2 * угол AOB = 1/2 * 60 = 30 градусов.
Ответ:
Таким образом, величина угла, вписанного в окружность и опирающегося на хорду, равную радиусу, составляет 30 градусов.