Дано:
Круг с центром O. Через точку M проведены две перпендикулярные хорды AC и BD. Точка K — середина отрезка AD.
Найти:
Докажите, что прямые MK и BC перпендикулярны.
Решение:
1. Обозначим пересечение хорд AC и BD в точке P. Поскольку хорд AC и BD перпендикулярны, угол APB равен 90°.
2. Определим, что K является серединой отрезка AD, тогда AK = KD.
3. По свойству хорд в круге, а именно по теореме о произведении отрезков, мы знаем, что:
AP * PC = BP * PD.
4. Теперь рассмотрим треугольники AKD и BPC.
5. Угол AKD равен углу APB (поскольку обе являются вертикальными углами), и, следовательно, угол AKD равен 90°.
6. Так как стороны AK и KD равны (K — середина отрезка AD), то треугольник AKD является равнобедренным.
7. В равнобедренном треугольнике угол AKD = угол ADB.
8. Таким образом, угол ADB также равен 90°. Это означает, что точки A, K, D и B находятся на одной окружности, а К является центром описанной окружности для треугольника ADB.
9. Из этого следует, что прямая MK — это биссектрисса угла AOB, где O — центр окружности, а угол AOB равен 90°.
10. Следовательно, углы AMK и BMC равны.
11. Это значит, что прямые MK и BC перпендикулярны, поскольку сумма углов в треугольнике равна 180° и угол BMC + угол AMK = 90°.
Ответ:
Таким образом, доказано, что прямые MK и BC перпендикулярны.