Дано:
Две окружности, пересекающиеся в точках P и Q. Через точки P и Q проведены две произвольные прямые, которые пересекают первую окружность в точках A и B, а вторую окружность — в точках C и D.
Найти:
Докажите, что AВ || CD.
Решение:
Случай 1: Прямые пересекают окружности в одной и той же последовательности
1. Пусть прямая проходит через точки P и Q, пересекает первую окружность в точках A и B, а вторую — в точках C и D.
2. В этом случае углы ∠APB и ∠CQD являются углами между радиусами, проведенными к точкам касания A, B, C и D соответственно.
3. Поскольку PQ — это секущая, у нас есть:
угол APB = угол CQD (по углам при секущей).
4. Следовательно, так как углы равны, значит, параллельность сторон:
AВ || CD.
Случай 2: Прямые пересекают окружности в противоположной последовательности
1. Рассмотрим случай, когда прямая проходит через точки P и Q, пересекает первую окружность в точках B и A, а вторую — в точках D и C.
2. В этом случае также углы будут формироваться между радиусами:
угол BPQ и угол DQC.
3. По аналогии с первым случаем, можно записать:
угол BPQ = угол DQC (по углам при секущей).
4. Таким образом, мы также получаем:
AВ || CD.
Ответ:
Таким образом, в обоих случаях доказано, что если через точки пересечения двух окружностей проведены две произвольные прямые, то AВ || CD.