дано:
- две окружности, касающиеся в точке K.
- произвольные прямые, проходящие через точку K, пересекающие первую окружность в точках A и B, а вторую — в точках C и D.
найти:
доказать, что прямые AB и CD параллельны.
решение:
1. Обозначим первую окружность как O1 и вторую окружность как O2. Радиусы окружностей, проведенные в точку K, будут перпендикулярны к касательной.
2. Углы, образованные радиусами, и секущими, будут равны:
угол AKO1 = угол CKO2,
угол BKO1 = угол DKO2.
3. Поскольку углы, образованные секущими и радиусами, равны, это означает, что углы AKC и BKD будут равны:
угол AKC = угол BKD,
угол BKC = угол AKD.
4. Если два угла, образованные пересечением двух прямых и касательной, равны, то прямые AB и CD будут параллельны.
5. Рассмотрим случай внутреннего касания. Пусть окружности касаются внутри. В этом случае точка K также является общей точкой. Аналогично, углы, образованные радиусами и секущими, будут равны, и доказательство остается тем же.
ответ:
прямые AB и CD параллельны, как в случае внешнего, так и внутреннего касания окружностей.