Дано:
Окружность с центром O радиусом R. Две равные хорды AB и CD, длины которых равны l.
Найти:
Докажите, что концы хорд AB и CD лежат на параллельных прямых.
Решение:
1. Пусть M и N — середины хорд AB и CD соответственно. Поскольку хорды равны, то AM = MB = CN = ND = l/2.
2. Проведем отрезки OM и ON, которые перпендикулярны к хордам AB и CD соответственно. По свойству окружности, эти отрезки будут равны, так как они являются радиусами, проведенными к средним точкам хорд.
3. Обозначим длину отрезков OM и ON через h. Таким образом, OM = ON = h.
4. Теперь рассмотрим треугольники OMA и ONC. Эти треугольники являются прямоугольными (по определению перпендикуляра) и имеют общую высоту h.
5. По теореме Пифагора в обоих треугольниках можно записать:
OA^2 = OM^2 + AM^2
OC^2 = ON^2 + CN^2
6. Подставляя значения, получаем:
R^2 = h^2 + (l/2)^2
R^2 = h^2 + (l/2)^2
7. Уравнения идентичны, что подтверждает, что OM = ON и, следовательно, h постоянен для обеих хорд.
8. Теперь определим положение хорд относительно центра O. Параллельные прямые, проведенные через точки A и B, а также C и D, будут находиться на одинаковом расстоянии от центра O.
Ответ:
Таким образом, доказано, что концы равных хорд AB и CD лежат на параллельных прямых.