Дано: в окружности проведены две равные непересекающиеся хорды AB и CD. Найти: длину хорд AC и BD, доказав, что они равны.
Решение:
1. Обозначим радиус окружности как R. Поскольку хорды AB и CD равны, пусть длина каждой из них равна L.
2. Отметим, что расстояние от центра окружности до хорды AB равно расстоянию от центра до хорды CD, так как эти хорды равны.
3. Обозначим точку пересечения хорды AC и хорды BD как точку E. Точки A и C делят окружность на две дуги, которые равны, как и дуги, которые делят точки B и D.
4. Проведем радиусы OA, OB, OC и OD. Тогда треугольники OAB и OCD равны по стороне-радиусу и по хордовой стороне (так как AB = CD). Следовательно, углы AOB и COD равны, как и углы OAB и OCD.
5. Таким образом, длина отрезка AC равна длине отрезка BD. Это следует из симметрии окружности и равенства треугольников.
Ответ: Хорды AC и BD равны.