Дано:
1. Окружность с центром O и радиусом R.
2. Две равные хорды AB и CD, такие что длина AB равна длине CD.
Найти:
Показать, что расстояния от центра окружности O до хорд AB и CD равны.
Решение:
1. Обозначим расстояние от центра окружности O до хорды AB как d1 и до хорды CD как d2.
2. Проведем перпендикуляры OM и ON из центра O на хорды AB и CD соответственно, где M и N - точки пересечения этих перпендикуляров с хордой.
3. Поскольку OM и ON являются радиусами, проведенными к хордe, мы можем использовать теорему о перпендикуляре к хорде:
OM^2 + AM^2 = R^2
ON^2 + AN^2 = R^2
где AM и AN - половины длин хорд AB и CD соответственно.
4. Поскольку AB = CD, то AM = AN. Обозначим это значение как x.
5. Таким образом, у нас есть:
OM^2 + x^2 = R^2
ON^2 + x^2 = R^2
6. Из данных уравнений вычтем x^2:
OM^2 = R^2 - x^2
ON^2 = R^2 - x^2
7. Следовательно, OM = ON, то есть d1 = d2.
Ответ:
Расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны.