Дано: окружность с центром O и радиусом R. Пусть A и B — две равные хорды этой окружности.
Найти: расстояния от центра окружности до каждой из хорды.
Решение:
1. Обозначим расстояние от центра окружности до хорды A как d1, а до хорды B как d2. Поскольку хорды A и B равны, необходимо показать, что d1 = d2.
2. Рассмотрим треугольник, образованный радиусом, проведенным к середине хорды и отрезком, соединяющим центр окружности с серединой хорды.
Для хорды A: пусть M1 — середина хорды A. Радиус окружности, проведенный в точку M1, перпендикулярен хорде A и образует прямоугольный треугольник с половиной хорды и расстоянием от центра до хорды.
По теореме Пифагора в этом треугольнике: R^2 = d1^2 + (a/2)^2, где a — длина хорды A.
Для хорды B: пусть M2 — середина хорды B. Аналогично, радиус окружности, проведенный в точку M2, перпендикулярен хорде B и образует прямоугольный треугольник с половиной хорды и расстоянием от центра до хорды.
По теореме Пифагора: R^2 = d2^2 + (b/2)^2, где b — длина хорды B.
3. Поскольку хорды A и B равны, то a = b.
4. Из равенства a и b следует: d1^2 + (a/2)^2 = d2^2 + (b/2)^2.
Подставив a = b: d1^2 + (a/2)^2 = d2^2 + (a/2)^2.
5. Упрощая, получаем: d1^2 = d2^2.
6. Из этого равенства следует, что d1 = d2.
Ответ: равные хорды окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.