Дано:
- окружность с центром O и радиусом R
- две хорды AB и CD, находящиеся на одинаковом расстоянии d от центра O
Найти: длины хорд AB и CD.
Решение:
1. Обозначим расстояние от центра O до хорд AB и CD как d.
2. Половина длины хорды AB обозначим как AM, а половина длины хорды CD как CN, где M и N - середины хорд.
3. Из прямоугольного треугольника OAM по теореме Пифагора имеем:
OA^2 = OM^2 + AM^2
где OA = R (радиус), OM = d (расстояние от центра до хорды), AM - половина длины хорды AB.
Подставим значения:
R^2 = d^2 + AM^2
Следовательно, AM^2 = R^2 - d^2.
4. Аналогично, для хорды CD:
OC^2 = ON^2 + CN^2
где ON = d, CN - половина длины хорды CD.
Подставим значения:
R^2 = d^2 + CN^2
Следовательно, CN^2 = R^2 - d^2.
5. Из обоих уравнений мы видим:
AM^2 = R^2 - d^2
CN^2 = R^2 - d^2
Это значит, что AM^2 = CN^2, следовательно, AM = CN.
6. Таким образом, длины хорд AB и CD равны, так как они равны по своим половинам.
Ответ: хорды окружности, удалённые от её центра на равные расстояния, равны.