Дано:
- длина отрезка AP = 5
- длина отрезка PB = 11
- угол между диаметром и хордой равен 45°
Найти: расстояние от центра окружности до хорды.
Решение:
1. Обозначим длину хорды AB как AB = AP + PB = 5 + 11 = 16.
2. Поскольку угол между диаметром и хордой равен 45°, то хордовая точка P делит хорду AB на два отрезка. Точка P - это проекция центра O на хорд.
3. На основании теоремы о длине отрезка, проведенного из центра окружности к хорде, имеем:
d = OP = OA * cos(45°)
где d - расстояние от центра до хорды, OA - радиус окружности.
4. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом OA и половиной хорды (AM), можем выразить OA:
OA = (1/2) * AB / sin(θ)
где AM = 1/2 * AB = 8 и θ - угол между радиусом и половиной хорды, то есть 45°.
5. Вычислим радиус:
OA = (1/2 * 16) / sin(45°)
OA = 8 / (√2 / 2)
OA = 8 * (2 / √2)
OA = 8√2.
6. Теперь найдем расстояние d:
d = OA * cos(45°)
d = 8√2 * (√2 / 2)
d = 8.
Ответ: расстояние от центра окружности до хорды равно 8.