Дано:
Хорда окружности пересекает её диаметр под углом 30°. Диаметр делится на два отрезка длиной 2 и 6.
Найти:
Расстояние от центра окружности до этой хорды.
Решение:
1. Обозначим центр окружности как O, а точки на диаметре как A и B, где A - начало диаметра и B - конец диаметра. Тогда AB = 2 + 6 = 8.
2. Поскольку A и B находятся на диаметре, длина AO = 2 и BO = 6. Сумма этих отрезков равна длине всего диаметра. Таким образом, радиус R окружности равен 4 (половина диаметра).
3. Угол между хордой и диаметром равен 30°. Обозначим расстояние от центра окружности до хорды как d.
4. В соответствии с теоремой о хордах для данной хорды мы можем использовать следующее соотношение:
R² = d² + (l/2)²,
где l - длина хорды.
5. Для нахождения длины хорды l, можем воспользоваться тригонометрией:
Если угол между хордой и диаметром равен 30°, то длина половины хорды будет равна AO * tan(30°).
6. Поскольку AO = 2, получаем:
(l/2) = 2 * tan(30°),
tan(30°) = 1/sqrt(3), следовательно:
(l/2) = 2 * (1/sqrt(3)) = 2/sqrt(3).
7. Длина хорды будет:
l = 2 * (2/sqrt(3)) = 4/sqrt(3).
8. Подставим значение радиуса R и длины хорды l в уравнение про расстояние до хорды:
4² = d² + (4/(2*sqrt(3)))²,
16 = d² + (4/sqrt(3))²,
16 = d² + (16/3).
9. Преобразуем уравнение:
d² = 16 - (16/3),
d² = (48/3) - (16/3) = (32/3).
10. Найдем d:
d = sqrt(32/3).
Ответ:
Расстояние от центра окружности до этой хорды равно 4/sqrt(3).