Дано:
Квадрат ABCD, точки A, B, C и D расположены по часовой стрелке. Точка M находится вне квадрата, угол BMC равен 135°.
Найти:
Угол AMD.
Решение:
1. Рассмотрим угол BMC. Поскольку угол BMC равен 135°, это означает, что его внешний угол BMC' (где C' - продолжение отрезка MC) равен 180° - 135° = 45°.
2. Поскольку ABCD - квадрат, то:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°.
3. Теперь найдем угол MBA:
∠MBA = ∠BMC + ∠CMA = 135° + ∠CMA.
Пусть угол CMA обозначим как x. Тогда получаем:
∠MBA = 135° + x.
4. Также в треугольнике AMB:
∠AMB = ∠A + ∠MBA = 90° + (135° + x) = 225° + x.
Но мы знаем, что сумма углов треугольника AMB равна 180°:
∠AMB + ∠A + ∠BAM = 180°.
5. Подставляем:
(225° + x) + 90° + ∠BAM = 180°,
или
315° + x + ∠BAM = 180°.
6. Отсюда следует:
x + ∠BAM = 180° - 315° = -135°. Это противоречит геометрии, поэтому необходимо рассмотреть дополнительные свойства.
7. Однако мы можем использовать свойства внешнего угла. Угол AMD может быть найден через сумму соответствующих углов. Известно, что угол между двумя прямыми, пересекающимися, равен 180° минус величина внутреннего угла.
8. Таким образом,
∠AMD = 180° - ∠BMC',
где ∠BMC' = 45°.
9. Тогда подставляя значение:
∠AMD = 180° - 45° = 135°.
Ответ:
Угол AMD равен 135°.