Дано:
Треугольник ABC с высотами AM и CK, где M — основание высоты AM на стороне BC, а K — основание высоты CK на стороне AB.
Найти:
Докажите, что угол BKM равен углу ACV.
Решение:
1. Обозначим угол ACB как угол α. Поскольку AM и CK являются высотами треугольника, угол ACM = 90°. Таким образом, треугольник ACM является прямоугольным.
2. Рассмотрим угол CKA. Поскольку CK — это высота, то угол BKC также равен 90°.
3. Теперь в треугольнике ACM угол CMB равен 90° - угол ACB (по свойству смежных углов):
∠CMB = 90° - α.
4. Углы в треугольнике BMK:
- Угол BKM = угол CMB (т.к. они вертикальные углы)
- Угол BKM = 90° - α.
5. Рассмотрим угол ACB:
∠ACB = α.
6. Таким образом, мы имеем:
∠BKM = 90° - ∠ACB.
7. Однако, поскольку угол ACB равен углу BKA (в силу свойств равнобедренного треугольника и так как M — основание высоты), мы можем также записать:
∠BKA = ∠ACB = α.
8. Таким образом, у нас есть два угла:
∠BKM = 90° - ∠ACB
∠ACB = α.
9. Из этого следует, что угол BKM равен углу ABC (так как они комплементарны).
10. Поскольку эти углы равны, мы получаем:
∠BKM = ∠ACV.
Ответ:
Угол BKM равен углу ACB.