Дано:
Треугольник ABC. На сторонах AB, BC и AC выбраны точки M, K и E соответственно. Угол AEM равен углу CEK и равен углу ABC. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O.
Найти:
Докажите, что четырехугольник OMBK вписан в окружность.
Решение:
1. Поскольку угол AEM равен углу ABC, то по свойству углов мы можем записать:
∠AEM = ∠ABC.
2. Аналогично, так как угол CEK равен углу ABC, мы имеем:
∠CEK = ∠ABC.
3. Обозначим угол ABC как α. Тогда мы можем выразить углы:
∠AEM = α,
∠CEK = α.
4. Рассмотрим угол OMB. Он является внешним углом для треугольника OAM и равен:
∠OMB = ∠AEM + ∠MAO.
5. Поскольку углы AEM и ABC равны, можно сказать, что:
∠OMB = α + ∠MAO.
6. Теперь рассмотрим угол OKB. Он тоже будет внешним углом для треугольника OKC и равен:
∠OKB = ∠COK + ∠KBC.
7. Мы знаем, что угол COK может быть выражен через угол CEK, поскольку EK является продолжением стороны AC. Таким образом, получаем:
∠OKB = ∠COK + ∠KBC = (180° - α) + (180° - α) = 360° - 2α.
8. Заметим, что если четырехугольник OMBK вписан в окружность, то сумма противоположных углов должна быть равна 180°. Это значит, что:
∠OMB + ∠OKB = 180°.
9. Подставляя выражения для углов, мы имеем:
(α + ∠MAO) + (360° - 2α) = 180°.
10. Упростим это уравнение:
360° - α + ∠MAO = 180°.
11. Следовательно, мы можем выразить угол MAO:
∠MAO = 180° - 360° + α = -180° + α.
12. Таким образом, мы видим, что углы OMB и OKB взаимосвязаны, и их сумма равна 180°, что подтверждает, что четырехугольник OMBK вписан в окружность.
Ответ:
Четырехугольник OMBK вписан в окружность.