Дано:
Треугольник ABC с высотами AE и CK. Прямая KE пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и R.
Найти:
Докажите, что отрезки BM и BR равны, то есть BM = BR.
Решение:
1. Поскольку высоты AE и CK проведены в треугольнике ABC, то точки E и K являются основаниями высот на сторонах BC и AB соответственно.
2. Прямая KE пересекает описанную окружность в точках M и R. Согласно свойству секущих и касательных: углы, образованные секущими и радиусами в точках касания, равны.
3. Рассмотрим углы BME и BRE. Эти два угла являются углами, опирающимися на одну и ту же дугу MR данной окружности. Следовательно, по теореме о равенстве углов, опирающихся на одну и ту же дугу, получаем:
угол BME = угол BRE.
4. Теперь заметим, что треугольники BME и BRE имеют общий угол B и равные углы при вершинах E и R.
Следовательно, по критерию равенства треугольников (по двум углам), треугольники BME и BRE равны.
5. Из равенства треугольников следует, что:
BM = BR.
Ответ:
BM = BR.