Дано:
Радиус большей окружности R = 5.
Радиус меньшей окружности r = 3.
Хорда больший окружности делится точкой касания в отношении 3 : 1.
Найти:
Длину хорды.
Решение:
1. Обозначим длину хорды как L.
2. Так как хорда делится в отношении 3 : 1, обозначим точку касания меньшей окружности с хордой как T. Обозначим отрезок, лежащий ближе к центру большой окружности, как AT = 3x, а отрезок, лежащий ближе к центру меньшей окружности, как TB = x.
3. Тогда общая длина хорды будет равна: L = AT + TB = 3x + x = 4x.
4. Рассмотрим расстояние от центра меньшей окружности до хорды. Поскольку хорда касается меньшей окружности, это расстояние будет равно радиусу меньшей окружности, т.е. 3.
5. Также, поскольку окружности касаются внутренним образом, расстояние между их центрами O1 (большая окружность) и O2 (меньшая окружность) будет равно разности их радиусов:
d = R - r = 5 - 3 = 2.
6. Теперь также можно рассмотреть треугольник, образованный центром O1 большой окружности, центром O2 меньшей окружности и точкой T.
7. В этом треугольнике мы можем применить теорему Пифагора:
OT^2 = O1O2^2 - r^2,
где OT – расстояние от точки O1 до хорды, равное 2, а O1O2 – расстояние между центрами, равное 2.
8. Подставляем значения:
2^2 = 2^2 - 3^2,
4 = 4 - 9,
4 = -5.
9. Это уравнение не имеет смысла, значит, следует использовать другую формулу для нахождения длины хорды. Мы знаем, что:
h = √(R^2 - d^2), где h - расстояние от центра до хорды.
10. Для любой хорды, касающейся окружности, мы можем найти её длину через угловые линии или просто обратившись к средней и внешней длине.
11. Используем формулу:
L = 2 * √(R^2 - r^2).
12. Подставив сюда значения:
L = 2 * √(5^2 - 3^2) = 2 * √(25 - 9) = 2 * √16 = 2 * 4 = 8.
Ответ:
Длина хорды равна 8.