Дано:
- Вписанный угол α величиной 30° опирается на хорду AB.
Найти:
Доказать, что длина хорд AB равна радиусу окружности R.
Решение:
1. Обозначим центр окружности как O, радиус окружности как R, и рассмотрим треугольник OAB, где A и B — концы хорды AB.
2. По свойству вписанных углов, угол OAB равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Так как вписанный угол α равен 30°, угол OAB будет равен:
угол OAB = 1/2 * градусная мера дуги AB.
Следовательно, градусная мера дуги AB = 2 * 30° = 60°.
3. Теперь в треугольнике OAB мы имеем:
- угол OAB = 30° (вписанный угол);
- угол AOB = 60° (угол, соответствующий дуге AB);
- угол OBA = 90° (по свойству, так как OA и OB — радиусы).
4. Таким образом, треугольник OAB является равнобедренным, и OA = OB = R.
5. Мы можем воспользоваться теоремой косинусов для нахождения длины хорды AB:
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(угол AOB).
Подставляя значения, получаем:
AB^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(60°),
AB^2 = 2R^2 - 2R^2 * 1/2,
AB^2 = 2R^2 - R^2,
AB^2 = R^2.
6. Из этого следует, что:
AB = R.
Ответ:
Длина хорды AB равна радиусу окружности R.