Дано:
- Правильный треугольник ABC, где вершины A и B лежат на окружности, а C — внутри этой окружности.
- Точка D на окружности, такая что BD = AB.
- Прямая CD пересекает окружность в точке E, отличной от точки D.
Найти:
Доказать, что длина отрезка EC равна радиусу данной окружности.
Решение:
1. Обозначим радиус окружности как R. Так как A и B — вершины правильного треугольника ABC, то стороны AB, AC и BC равны между собой.
2. Заметим, что BD = AB. Это означает, что треугольник ABD также является равнобедренным, и углы BAD и ABD равны.
3. Угол CAD является равным углу ABC, так как это угол в центре, который равен углу при основании равнобедренного треугольника ABD.
4. Рассмотрим угол BCD. С учетом свойств наклонных углов, мы имеем:
угол BCD = 180° - (угол ABC + угол ABC) = 180° - 2 * угол ABC.
5. Поскольку ABC правильный треугольник, то угол ABC равен 60°.
Следовательно, угол BCD = 180° - 2 * 60° = 60°.
6. Теперь рассмотрим угол ECD. Поскольку CD пересекает окружность, угол ECD будет равен углу BCA, т.е. будет также равен 60°.
7. Таким образом, у нас есть два угла: угол BCD и угол ECD, которые равны 60°.
8. Это значит, что треугольник CDE является равнобедренным с углом при C равным 60°.
9. В равнобедренном треугольнике CDE с углом C равным 60°, стороны DE и CE равны.
10. Длина отрезка DE равна радиусу окружности R, так как D и E находятся на окружности.
11. Следовательно, EC также равно R, потому что EC = DE по свойству равнобедренного треугольника.
Ответ:
Длина отрезка EC равна радиусу данной окружности.