Дано:
Четырехугольник ABCD, вписанный в окружность.
Найти углы A и C для следующих случаев:
а) отношение дуг 1 : 1;
б) отношение дуг 1 : 3;
в) отношение дуг 7 : 11.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся свойством вписанных углов: величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.
а) Отношение дуг 1 : 1.
1. Пусть длины дуг AB и CD равны x. Тогда угол A будет равен 0.5 * x, а угол C также равен 0.5 * x (так как дуги равны).
2. Угол A = угол C.
3. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то угол B + угол D также составляют 180°.
4. Углы A и C равны, значит, угол A = угол C = 90°.
Ответ:
а) угол A = 90°, угол C = 90°.
б) Отношение дуг 1 : 3.
1. Пусть длина дуги AB равна x, а длина дуги CD равна 3x.
2. Тогда угол A = 0.5 * x и угол C = 0.5 * 3x = 1.5x.
3. Сумма углов A и C равна:
угол A + угол C = 0.5x + 1.5x = 2x.
4. Так как сумма всех углов составляет 360°, то:
угол B + угол D = 360° - 2x.
5. Углы A и C также должны взаимно удовлетворять свойству вписанных углов. Их соотношение:
угол A / угол C = 1 / 3.
6. Таким образом, 0.5x / (1.5x) = 1 / 3.
7. Решая это уравнение, получаем x = 30°.
8. Следовательно:
угол A = 0.5 * 30° = 15°,
угол C = 1.5 * 30° = 45°.
Ответ:
б) угол A = 15°, угол C = 45°.
в) Отношение дуг 7 : 11.
1. Пусть длина дуги AB равна 7x, а длина дуги CD равна 11x.
2. Тогда угол A = 0.5 * 7x = 3.5x и угол C = 0.5 * 11x = 5.5x.
3. Сумма углов A и C равна:
угол A + угол C = 3.5x + 5.5x = 9x.
4. Таким образом, угол B + угол D = 360° - 9x.
5. Углы A и C относительно имеют соотношение 7 : 11, поэтому:
3.5x / 5.5x = 7 / 11.
6. Решим это уравнение и найдем x = 20°.
7. Следовательно:
угол A = 3.5 * 20° = 70°,
угол C = 5.5 * 20° = 110°.
Ответ:
в) угол A = 70°, угол C = 110°.