Дано:
Острый треугольник ABC с высотами AA1, BB1 и CC1, пересекающимися в точке H.
Найти:
Докажите, что:
а) вокруг четырехугольников CA1HB1, AC1HB1 и BA1HC1 можно описать окружности;
б) вокруг четырехугольников AB1A1B, BC1B1C и CA1C1A можно описать окружности.
Решение:
а) Для доказательства того, что вокруг четырехугольников CA1HB1, AC1HB1 и BA1HC1 можно описать окружности, необходимо показать, что сумма противоположных углов каждого из этих четырехугольников равна 180°.
1. Четырехугольник CA1HB1:
Угол CA1H + угол B1AH = 90° + 90° = 180°, поскольку A1 – это основание высоты, и углы при основании равны 90°.
2. Четырехугольник AC1HB1:
Угол AC1H + угол B1CA = 90° + 90° = 180°, поскольку C1 – это основание высоты.
3. Четырехугольник BA1HC1:
Угол BA1H + угол C1AB = 90° + 90° = 180°, поскольку A1 и C1 – основания высот.
Таким образом, для всех трех четырехугольников сумма противоположных углов равна 180°, что доказывает, что около них можно описать окружности.
б) Теперь докажем, что вокруг четырехугольников AB1A1B, BC1B1C и CA1C1A можно описать окружности.
1. Четырехугольник AB1A1B:
Угол AB1A + угол A1B = 90° + 90° = 180°, так как B1 – это основание высоты.
2. Четырехугольник BC1B1C:
Угол BC1B + угол B1C = 90° + 90° = 180°, так как C1 – это основание высоты.
3. Четырехугольник CA1C1A:
Угол CA1C + угол C1A = 90° + 90° = 180°, так как A1 – это основание высоты.
Для всех трех четырехугольников также сумма противоположных углов равна 180°, что подтверждает возможность описания окружностей вокруг этих четырехугольников.
Ответ:
а) Вокруг четырехугольников CA1HB1, AC1HB1 и BA1HC1 можно описать окружности, так как сумма противоположных углов равна 180°.
б) Вокруг четырехугольников AB1A1B, BC1B1C и CA1C1A также можно описать окружности по той же причине.