Дано: остроугольный треугольник ABC, проведены высоты AA1 и CC1. Отрезок A1C1 делит площадь треугольника ABC пополам.
Найти: угол ABC.
Решение:
1. Высоты AA1 и CC1 пересекаются в ортоцентре H треугольника ABC. Поскольку A1C1 делит площадь треугольника ABC пополам, отрезок A1C1 является медианой треугольника AHC (где H — ортоцентр).
2. Поскольку отрезок A1C1 делит треугольник AHC на два равных по площади треугольника, A1C1 является медианой треугольника AHC, то есть угол AHC равен 90°.
3. Из свойств медианы в треугольнике следует, что угол AHC = 90° тогда и только тогда, когда угол ABC = 60°.
4. Таким образом, угол ABC = 60°.
Ответ: Угол ABC равен 60°.