Дано:
S(ABC) = 18 - площадь треугольника ABC
S(BРК) = 2 - площадь треугольника BРК
РК = 2√2 - длина отрезка РК
Найти:
R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC
Решение:
Из условия задачи следует, что точки P, K и C лежат на одной прямой, поскольку АР и СК - высоты треугольника АВС.
Площадь треугольника BРК равна половине произведения его основания РК на высоту ВР:
S(BРК) = (1/2) * РК * ВР = 2
ВР = (2 * S(BРК)) / РК = (2 * 2) / (2√2) = √2
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника АВР:
AB^2 = АР^2 + ВР^2
АР^2 = AB^2 - ВР^2
Площадь треугольника АВС равна половине произведения его основания АВ на высоту СК:
S(ABC) = (1/2) * AB * СК = 18
СК = (2 * S(ABC)) / AB = (2 * 18) / AB = 36 / AB
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника АКС:
AC^2 = АР^2 + СК^2 = (AB^2 - ВР^2) + (36 / AB)^2 = AB^2 - 2 + 1296 / AB^2
Площадь треугольника АВС также равна половине произведения его сторон АВ и АС, умноженной на синус угла между ними:
S(ABC) = (1/2) * AB * AC * sin∠BAC = 18
AC = (36) / (AB * sin∠BAC)
Подставим полученное выражение для АС в уравнение из пункта 5:
(36)^2 / (AB^2 * sin^2∠BAC) = AB^2 - 2 + 1296 / AB^2
1296 / (AB^2 * sin^2∠BAC) = AB^2 - 2
Из треугольника АВР:
sin∠BAC = ВР / AB = √2 / AB
sin^2∠BAC = 2 / AB^2
Подставим sin^2∠BAC в уравнение из пункта 7:
1296 / (AB^2 * (2 / AB^2)) = AB^2 - 2
648 = AB^2 - 2
AB^2 = 650
AB = √650 = 5√26
Найдем радиус R окружности, описанной вокруг треугольника ABC: * R = (AB * AC * BC) / (4 * S(ABC)) = (AB * (36 / (AB * sin∠BAC)) * BC) / (4 * 18) = (9 * BC) / (sin∠BAC) * BC = √(AC^2 - AB^2) = √((36 / sin∠BAC)^2 - (5√26)^2) * R = (9 * √((36 / sin∠BAC)^2 - (5√26)^2)) / sin∠BAC * R = (9 * √((36 / (√2 / 5√26))^2 - (5√26)^2)) / (√2 / 5√26) * R = (9 * √((900 * 26) / 2 - 650)) / (√2 / 5√26) * R = (9 * √(23400 - 650)) / (√2 / 5√26) * R = (9 * √22750) / (√2 / 5√26) * R = (9 * 5√26 * √22750) / √2 * R = 45 * √(26 * 22750 / 2) * R = 45 * √(295750) = 45 * 5√1183 = 225√1183
Ответ:
R = 225√1183