Дано:
Четыре точки A, B, C и D лежат на окружности. Точки M, N, K и L — середины дуг AB, BC, CD и DA соответственно.
Найти:
Докажите, что прямая MK перпендикулярна прямой NL.
Решение:
1. Обозначим центр окружности как O. Поскольку точки A, B, C и D находятся на окружности, радиусы OA, OB, OC и OD равны.
2. Так как M, N, K и L являются серединами соответствующих дуг, то углы ∠AOM и ∠BON равны половине углов, образуемых радиусами OA и OB:
∠AOM = 0.5 * ∠AOB,
∠BON = 0.5 * ∠BOC,
∠COK = 0.5 * ∠COD,
∠DOL = 0.5 * ∠DOA.
3. Теперь рассмотрим угол между прямыми MK и NL:
- Прямая MK соединяет середины дуг AB и CD, а прямая NL соединяет середины дуг BC и DA.
- Угол между прямыми MK и NL можно выразить как разность углов, образованных радиусами к точкам M, K и N, L.
4. Углы ∠MOK и ∠NOL могут быть найдены следующим образом:
- Угол ∠MOK = ∠AOB + ∠COD (так как M – середина дуги AB, а K – середина дуги CD).
- Угол ∠NOL = ∠BOC + ∠DOA.
5. Поскольку сумма углов ∠AOB + ∠COD и ∠BOC + ∠DOA в сумме составляет полный круг (360°), то:
∠MOK + ∠NOL = 180°.
6. Это означает, что прямые MK и NL пересекаются под углом 90°, что подтверждает их перпендикулярность.
Ответ:
Прямая MK перпендикулярна прямой NL, так как суммы углов, образованных этими прямыми, равны 180°.