Дано:
Пусть H — точка пересечения высот в треугольнике ABC. Обозначим точки A', B' и C' как точки, симметричные H относительно сторон BC, CA и AB соответственно.
Найти:
Докажите, что точки A', B' и C' лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.
Решение:
1. Известно, что точка H является ортогональной центром (ортроцентром) треугольника ABC, то есть точкой, где пересекаются высоты треугольника.
2. Рассмотрим высоту AH из вершины A на сторону BC. Точка H делит эту высоту на две части – отрезок AH и отрезок HC.
3. При проведении симметрии относительно стороны BC, получаем точку A'. Поскольку H находится на высоте, симметрия относительно BC сохраняет расстояние от H до BC, и A' будет находиться на продолжении высоты AH.
4. Аналогично, для других высот BH и CH получаем точки B' и C', которые также будут расположены на продолжениях соответствующих высот.
5. Теперь рассмотрим свойства углов, образуемых сторонами треугольника ABC и линиями HH' (где H' — симметричная точка H):
- Угол AHB' = угол AHC,
- Угол BHC' = угол BHA,
- Угол CH'A = угол CHB.
6. Таким образом, у нас имеется следующее соотношение: сумма противолежащих углов равна 180°:
угол AHB + угол A'BC' = 180°,
угол BHC + угол B'CA' = 180°,
угол CHA + угол C'AB' = 180°.
7. Это означает, что A', B', C' противоположны по отношению к углам треугольника ABC, и согласно теореме о вписанном угле, они лежат на окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
Ответ:
Точки A', B' и C' лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.