Дано:
Треугольник ABC с высотой BB1, где B1 - основание высоты на стороне AC. Точка A0 - симметричная точке A относительно точки B1. Н - точка пересечения высот треугольника ABC.
Найти:
Докажите, что четырехугольник BNA0C можно вписать в окружность.
Решение:
1. По определению, четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов равна 180 градусам.
2. Рассмотрим углы четырехугольника BHA0C:
- Угол BHA0 и угол B1AC: поскольку A0 является симметричной A относительно B1, мы знаем, что угол B1A0B = угол B1AB.
- Таким образом, угол BHA0 может быть выражен как угол B1AC.
3. Теперь найдем угол BNC:
- Угол BNC равен углу BAH (так как H - ортоцентр и углы при вершине B равны).
4. Учитывая, что:
- Угол B1AC + угол BHA0 = 180 градусов,
- Угол BAH + угол BNC = 180 градусов.
5. Это приводит к следующему равенству:
- Угол BHA0 + угол BNC = 180 градусов.
6. Аналогично, рассмотрим другие пары углов:
- Угол A0CB и угол BHC: по свойству углов треугольника и расположению H (ортоцентра), эти углы также будут равны.
7. Мы можем записать:
- Угол A0CB + угол BHC = 180 градусов.
8. Суммируя результаты:
- Угол BHA0 + угол BNC = 180 градусов,
- Угол A0CB + угол BHC = 180 градусов.
9. Следовательно, суммы противоположных углов четырехугольника BHA0C равны 180 градусам.
Ответ:
Четырехугольник BHA0C можно вписать в окружность, так как суммы противоположных углов равны 180 градусам.