Дано:
Окружность, через конец хорды, делящей окружность в отношении 3 : 5, проведена касательная.
Найти:
Острый угол между хордой и касательной.
Решение:
1. Обозначим точки: пусть A и B – концы хорды, а C – точка касания касательной с окружностью. Хорда AB делит окружность на две дуги: меньшую (AВ) и большую (BA), причем их длины находятся в отношении 3:5.
2. Поскольку хорда делит окружность, необходимо найти углы, которые образуются между касательной AC и хордой AB. Угол между хордой и касательной равен углу, заключенному между радиусом OA, проведенным в точку A, и хордой AB.
3. Угол OAB можно определить по следующей формуле:
угол OAB = 1/2 * (угол, соответствующий дуге, противолежащей хордe AB).
4. Дуги, соответствующие концам хорды AB, могут быть определены следующим образом. Полная окружность равна 360°. Делим эту полную меру на отношение, чтобы найти градусные меры дуг:
- Дуга, противолежащая хорде AB (согласно отношению) составляет 8 частей (3 части + 5 частей).
- Из этого следует, что меньшая дуга AB составляет 3/8 от 360°.
5. Рассчитаем угол OAB:
угол OAB = 1/2 * (3/8 * 360°)
= 1/2 * (135°)
= 67.5°.
6. Острый угол между хордой AB и касательной AC будет равен углу OAB, потому что касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
Ответ:
Острый угол между хордой и касательной равен 67.5°.