Дано:
- Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P.
- Через точку A проведена касательная к окружности S1, которая пересекает окружность S2 в точке B (отличной от A).
- Прямая, проходящая через точку P и параллельная AB, пересекает окружности S1 и S2 в точках D и C соответственно.
Найти:
Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Решение:
1. Поскольку AB — касательная к окружности S1 в точке A, то угол OAP равен углу ABD, где O — центр окружности S1. Это происходит из свойства касательной, которая перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания:
угол OAB = 90°.
2. Параллельные прямые имеют равные углы с соответствующими секущими. Так как прямая PC параллельна AB, углы PCD и PAB равны:
угол PCD = угол PAB.
3. Углы ABC и ADC, образованные секущими AC и BD, также равны, так как они являются вертикальными углами:
угол ABC = угол ADC.
4. Таким образом, имеем две пары противоположных углов:
угол ABD = угол ADC,
угол ABC = угол PAB.
5. В случае, если одна пара углов равна, а другая пара углов равна, мы можем утверждать, что ABCD является параллелограммом по определению: если в четырехугольнике обе пары противоположных углов равны, то это параллелограмм.
Ответ:
ABCDA является параллелограммом.