Дано: четырёхугольник ABCD с точкой O – серединой диагонали BD. Через O проведена прямая, параллельная диагонали AC, пересекающая AD в точке M.
Найти: доказать, что отрезок CM делит площадь четырёхугольника ABCD пополам.
Решение:
1. Отметим, что прямая, проведённая через точку O и параллельная диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M. Параллельность прямых означает, что угол OMA равен углу OAC (по углам наклонным).
2. Треугольники OMA и OAC подобны (по двум углам), поскольку OM || AC, следовательно, их стороны пропорциональны.
3. Отрезок CM является основанием в треугольнике OMC, и он делит площадь треугольника OAC пополам, так как линии OM и AC параллельны.
4. Площадь четырёхугольника ABCD может быть разбита на две части: треугольники OAC и OBD.
5. Так как точка O – середина диагонали BD и прямая через O делит площадь треугольника OBD пополам, то отрезок CM также делит треугольник OBD на две равные площади.
Ответ: Отрезок CM делит площадь четырёхугольника ABCD пополам.