Диагонали  АС  и  ВD  четырёхугольника  АВСD  пересекаются  в  точке  О. АО = ОВ, СО = ОD, ∠ABD = ∠CDB.  Докажите,  что  четырёхугольник  ABCD — прямоугольник
от

1 Ответ

Дано:
Четырехугольник ABCD, в котором выполняются следующие условия:
1. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
2. АО = ОБ, СО = ОД.
3. ∠ABD = ∠CDB.

Найти: доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Решение:
1. Условия АО = ОБ и СО = ОД означают, что точка O является серединой диагоналей AC и BD. Это свойство характерно для прямоугольника, так как в прямоугольнике диагонали не только пересекаются, но и делятся пополам.

2. Так как ∠ABD = ∠CDB, можно сказать, что треугольники ABD и CDB равны по двум углам (по углу и двум сторонам). Следовательно, соответствующие углы равны, и это дает дополнительное свидетельство того, что ABCD — прямоугольник.

3. Также можно отметить, что из равенства треугольников ABD и CDB следует, что стороны AB и CD параллельны и равны между собой.

4. Параллельность сторон AB и CD, а также равенство углов ∠ABD и ∠CDB подтверждают, что угол ∠ABC и угол ∠BCD — прямые углы, так как диагонали делят эти углы пополам.

Ответ: Четырехугольник ABCD является прямоугольником.
от