Дано:
Четырехугольник ABCD, в котором выполняются следующие условия:
1. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
2. АО = ОБ, СО = ОД.
3. ∠ABD = ∠CDB.
Найти: доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.
Решение:
1. Условия АО = ОБ и СО = ОД означают, что точка O является серединой диагоналей AC и BD. Это свойство характерно для прямоугольника, так как в прямоугольнике диагонали не только пересекаются, но и делятся пополам.
2. Так как ∠ABD = ∠CDB, можно сказать, что треугольники ABD и CDB равны по двум углам (по углу и двум сторонам). Следовательно, соответствующие углы равны, и это дает дополнительное свидетельство того, что ABCD — прямоугольник.
3. Также можно отметить, что из равенства треугольников ABD и CDB следует, что стороны AB и CD параллельны и равны между собой.
4. Параллельность сторон AB и CD, а также равенство углов ∠ABD и ∠CDB подтверждают, что угол ∠ABC и угол ∠BCD — прямые углы, так как диагонали делят эти углы пополам.
Ответ: Четырехугольник ABCD является прямоугольником.