Дано:
- Ромб ABCD.
- Диагонали ромба пересекаются в точке O.
Найти: Нужно доказать, что середины отрезков АО, ВО, СО и ДО являются вершинами ромба.
Решение:
1. В ромбе все стороны равны, и его диагонали пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба не только пересекаются, но и делят друг друга пополам.
2. Обозначим середины отрезков АО, ВО, СО и ДО как M1, M2, M3 и M4 соответственно.
3. Мы знаем, что точка O является точкой пересечения диагоналей ромба, и по свойствам ромба, диагонали делятся пополам. Следовательно, отрезки АО, ВО, СО и ДО равны пополам их полной длине.
4. Теперь рассмотрим отрезок M1M2. Он соединяет середины отрезков АО и ВО. Отрезки АО и ВО равны, и они делятся пополам в точке O, а следовательно, отрезок M1M2 будет параллелен сторонам ромба и иметь такую же длину, как и стороны ромба.
5. Аналогично можно доказать, что отрезки M2M3, M3M4 и M4M1 также будут параллельны сторонам ромба и равны им по длине.
6. Таким образом, отрезки M1M2, M2M3, M3M4 и M4M1 образуют параллелограмм, у которого все стороны равны и противоположны. Это означает, что фигура является ромбом.
Ответ: Середины отрезков АО, ВО, СО и ДО являются вершинами ромба.