Дано:
ABC - треугольник O - центр вписанной окружности ∠AOB : ∠BOC : ∠COA = 2 : 3 : 4
Найти:
∠A, ∠B, ∠C - углы треугольника
Решение:
Обозначим:
∠AOB = 2x
∠BOC = 3x
∠COA = 4x
Сумма углов вокруг точки O равна 360°:
2x + 3x + 4x = 360°
9x = 360°
x = 40°
Найдем углы между радиусами:
∠AOB = 2x = 2 * 40° = 80°
∠BOC = 3x = 3 * 40° = 120°
∠COA = 4x = 4 * 40° = 160°
Используем свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны.
Пусть точки касания окружности со сторонами треугольника - K, L, M (K - на стороне AB, L - на стороне BC, M - на стороне AC).
AK = AM, BK = BL, CL = CM.
Рассмотрим треугольники AOK, BOL, COM:
∠AOK = ∠AOM (так как AK = AM)
∠BOL = ∠BOK (так как BK = BL)
∠COM = ∠COL (так как CL = CM)
Найдем углы треугольника ABC:
∠A = ∠AOM + ∠AOK = (1/2) * ∠COA = (1/2) * 160° = 80°
∠B = ∠BOK + ∠BOL = (1/2) * ∠AOB = (1/2) * 80° = 40°
∠C = ∠COL + ∠COM = (1/2) * ∠BOC = (1/2) * 120° = 60°
Ответ:
∠A = 80°, ∠B = 40°, ∠C = 60°.