дано: треугольник с углами 50°, 60° и 70°, в который вписана окружность.
найти: углы треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности сторон данного треугольника.
решение:
1. Пусть треугольник ABC с углами ∠A = 50°, ∠B = 60° и ∠C = 70°. Точка O — центр вписанной окружности.
2. Точки касания вписанной окружности с сторонами треугольника обозначим как P, Q и R, где:
- P — точка касания с стороной BC,
- Q — точка касания с стороной CA,
- R — точка касания с стороной AB.
3. Рассмотрим новый треугольник, образованный точками касания: PQR.
4. Углы треугольника PQR можно найти с помощью следующей теоремы: угол треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, равен половине угла исходного треугольника, на стороне которого лежит эта точка касания.
5. Таким образом:
- Угол ∠PQR = (∠A) / 2 = 50° / 2 = 25°,
- Угол ∠QRP = (∠B) / 2 = 60° / 2 = 30°,
- Угол ∠RPQ = (∠C) / 2 = 70° / 2 = 35°.
ответ: углы треугольника PQR равны:
- ∠PQR = 25°,
- ∠QRP = 30°,
- ∠RPQ = 35°.