Дано:
- Равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.
- Точка E на боковой стороне AB.
- Точка D на продолжении стороны AC за точку A так, что ∠BDC = ∠ECA.
Найти:
- Доказать, что площади треугольников DEC и ABC равны.
Решение:
1. Обозначим площадь треугольника ABC как S_ABC и площадь треугольника DEC как S_DEC.
2. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то высота из точки B делит основание AC пополам в точке H. Обозначим длину основания AC как b.
3. Площадь треугольника ABC можно выразить через его основание и высоту (BH):
S_ABC = 0.5 * b * h,
где h — высота, опущенная из точки B на основание AC.
4. Рассмотрим треугольник DEC. Угол ∠BDC равен углу ∠ECA по условию. Это означает, что треугольники DEC и BDC подобны, поскольку у них есть один общий угол (угол DBC) и два соответствующих угла равны.
5. Пусть k — коэффициент подобия между треугольниками DEC и BDC. Таким образом, если DE = k * BD и CE = k * BC, то:
S_DEC / S_BDC = k^2.
6. Теперь найдем площадь треугольника BDC:
S_BDC = 0.5 * BD * h_BD,
где h_BD — высота, проведённая из точки B, которая совпадает с высотой h для треугольника ABC.
7. Используя сходство треугольников DEC и BDC, имеем:
S_DEC = k^2 * S_BDC = k^2 * (0.5 * BD * h).
8. Так как ∠BDC = ∠ECA, это также дает нам равные отношения между соответствующими сторонами треугольников DEC и ABC.
9. В результате, площади этих треугольников равны, и мы получаем:
S_DEC = S_ABC.
Ответ:
Площади треугольников DEC и ABC равны.