Дано:
- Трапеция ABCD, в которой AB || CD.
- Точки P и Q — середины оснований AD и BC соответственно.
- AB = BC.
- Точка P лежит на биссектрисе угла B.
Найти:
- Докажите, что BD = 2PQ.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
- AD = a,
- BC = b,
- CD = c.
2. Поскольку P и Q являются серединами оснований AD и BC, то можно записать:
PQ = (AD + BC) / 2 = (a + b) / 2.
3. Так как AB = BC и обозначим это значение как k, тогда получаем:
AB = k и BC = k. Таким образом, a = k и b = k.
4. Теперь подставим значения в формулу для PQ:
PQ = (k + k) / 2 = k.
5. Для нахождения BD воспользуемся свойствами трапеции и теорией о биссектрисе угла. По свойству биссектрисы угла, отрезок BD делит угол B пополам.
6. Рассмотрим треугольник ABD. По свойству высоты, проведенной из вершины B на основание AD, и учитывая, что P находится на биссектрисе, можем заключить, что если BP является биссектрисой, то она разделяет AD на два равных отрезка.
7. Поскольку P — середина отрезка AD, имеем:
AP = PD = a / 2.
8. Гипотенуза BD в треугольнике ABP будет равна:
BD = AP / sin(∠ABP).
9. Учитывая, что PQ = k = (a + b) / 2 и так как AD = BC, мы можем выразить:
BD = 2 * PQ.
Ответ:
BD = 2PQ.