Дано: диагональ прямоугольной трапеции перпендикулярна боковой стороне, острый угол равен φ.
Найти: отношение оснований трапеции.
Решение:
1. Обозначим основания трапеции как a (верхнее основание) и b (нижнее основание), а боковую сторону как h.
2. Поскольку диагональ перпендикулярна боковой стороне, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой h и отрезками, которые соответствуют разности оснований. Обозначим разность оснований как d = b - a.
3. В этом треугольнике:
tan(φ) = h / (b - a) = h / d.
4. Из этого выражения получаем:
d = h / tan(φ).
5. Также, высота h можно выразить через длину боковой стороны и угол φ:
h = b * sin(φ).
6. Подставляем h из предыдущего уравнения в уравнение для d:
d = (b * sin(φ)) / tan(φ).
7. Заметим, что tan(φ) = sin(φ) / cos(φ). Подставляем это значение:
d = (b * sin(φ)) / (sin(φ) / cos(φ)) = b * cos(φ).
8. Теперь находим отношение оснований:
a = b - d = b - (b * cos(φ)) = b(1 - cos(φ)).
9. Таким образом, отношение оснований будет равно:
а/b = (b(1 - cos(φ))) / b = 1 - cos(φ).
Ответ:
Отношение оснований трапеции равно 1 - cos(φ).