Дано:
1. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 2 м и 3 м.
Найти:
Косинус угла при основании этого треугольника.
Решение:
1. Обозначим вершины треугольника как A, B и C, где AB = AC (боковые стороны), а BC – основание. Пусть точка касания окружности с боковой стороной AB делит его на отрезки так, что AM = 2 м и MB = 3 м.
2. Обозначим длину боковой стороны как a, тогда:
AB = AM + MB = 2 + 3 = 5 м.
Следовательно, AB = AC = 5 м.
3. Обозначим основание треугольника BC = b.
4. Теперь по свойству касательных к окружности из одной точки:
Отрезки, проведенные от внешней точки к точкам касания окружности, будут равны:
AN = AM = 2 м,
CN = MB = 3 м,
где N - точка касания на основании BC.
5. Следовательно, длина основания треугольника:
BC = AN + CN = 2 + 3 = 5 м.
6. Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения косинуса угла при основании. Обозначим угол при основании ACB как α.
По теореме косинусов:
c² = a² + b² - 2ab * cos(α),
где c = 5 (основание), a = 5 (боковая сторона), b = 5 (боковая сторона).
Подставим известные значения:
5² = 5² + 5² - 2 * 5 * 5 * cos(α).
7. Преобразуем уравнение:
25 = 25 + 25 - 50 * cos(α),
25 = 50 - 50 * cos(α),
50 * cos(α) = 50 - 25,
50 * cos(α) = 25,
cos(α) = 25 / 50 = 0.5.
Ответ:
Косинус угла при основании треугольника равен 0,5.