Дано:
1. Острый угол прямоугольного треугольника равен α.
2. Гипотенуза треугольника равна 1 м.
Найти:
Радиус вписанной в треугольник окружности.
Решение:
1. Обозначим стороны прямоугольного треугольника как a и b, где a — это сторона, прилегающая к углу α, а b — противолежащая сторона.
2. Используя свойства тригонометрии, можно выразить стороны через угол α:
- a = cos(α) (поскольку гипотенуза равна 1)
- b = sin(α)
3. Площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
S = (a * b) / 2.
4. Подставим значения a и b в формулу площади:
S = (cos(α) * sin(α)) / 2.
5. Поскольку радиус r вписанной окружности прямоугольного треугольника определяется по формуле:
r = (a + b - c) / 2,
где c — гипотенуза. В нашем случае c = 1.
6. Подставим значения a, b и c в формулу для r:
r = (cos(α) + sin(α) - 1) / 2.
7. Площадь тоже можно выразить через радиус вписанной окружности:
S = r * p,
где p — полупериметр. Полупериметр p равен:
p = (a + b + c) / 2 = (cos(α) + sin(α) + 1) / 2.
8. Таким образом, у нас есть два выражения для площади S. Приравняем их:
(cos(α) * sin(α)) / 2 = r * ((cos(α) + sin(α) + 1) / 2).
9. Упростим уравнение:
cos(α) * sin(α) = r * (cos(α) + sin(α) + 1).
10. Найдем r:
r = (cos(α) * sin(α)) / (cos(α) + sin(α) + 1).
Ответ:
Радиус вписанной в треугольник окружности равен (cos(α) * sin(α)) / (cos(α) + sin(α) + 1) метров.