Дано: острый угол прямоугольного треугольника равен α, гипотенуза равна 1.
Найти: площадь треугольника.
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике можно выразить катеты через угол α и гипотенузу. Обозначим катеты как a (при противолежащий угол α) и b (при смежный угол α).
2. Используя тригонометрические функции:
a = sin(α) * 1 = sin(α),
b = cos(α) * 1 = cos(α).
3. Площадь S треугольника рассчитывается по формуле:
S = (1/2) * основание * высота,
где основание и высота являются катетами:
S = (1/2) * a * b.
4. Подставим значения катетов:
S = (1/2) * sin(α) * cos(α).
5. Используем формулу удвоенного угла для синуса:
sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α),
то есть
sin(α) * cos(α) = (1/2) * sin(2α).
6. Подставляем это в формулу площади:
S = (1/2) * (1/2) * sin(2α) = (1/4) * sin(2α).
Ответ:
S = (1/4) * sin(2α).