Дано:
1. Четырехугольник, диагонали которого разбивают его на 4 треугольника.
2. Угол между диагоналями равен φ.
Найти:
Отношение площади нового четырехугольника, образованного центрами окружностей, описанных вокруг этих треугольников, к площади данного четырехугольника.
Решение:
1. Обозначим площадь исходного четырехугольника через S.
2. Диагонали четырехугольника пересекаются под углом φ.
3. При пересечении диагоналей четырехугольника ABCD, получаем 4 треугольника: AOB, BOC, COD и DOA, где O - точка пересечения диагоналей.
4. Площадь каждого из треугольников можно выразить с учетом угла между диагоналями:
S_AOB = (1/2) * AO * BO * sin(φ),
S_BOC = (1/2) * BO * CO * sin(φ),
S_COD = (1/2) * CO * DO * sin(φ),
S_DOA = (1/2) * DO * AO * sin(φ).
5. Теперь суммируем площади всех четырёх треугольников для нахождения площади всего четырехугольника:
S = S_AOB + S_BOC + S_COD + S_DOA
= (1/2) * sin(φ) * (AO * BO + BO * CO + CO * DO + DO * AO).
6. Центры описанных окружностей будут являться вершинами нового четырехугольника. По свойству описанных окружностей, площади этого нового четырехугольника пропорциональны произведению сторон, умноженному на синус угла между ними.
7. Площадь нового четырехугольника S' будет равна:
S' = k * S * sin(φ),
где k - коэффициент пропорциональности.
8. Таким образом, отношение площадей нового и исходного четырехугольников будет равно:
R = S' / S = k * sin(φ).
9. Для нахождения точного значения k нужно знать конкретные размеры и форму четырехугольника, но в общем случае можно утверждать, что при сохранении пропорций между сторонами и углами:
R = (sin(φ) * cos(φ)) / sin(φ)^2 = cos(φ) / sin(φ) = cot(φ).
Ответ:
Отношение площади нового четырехугольника к площади данного равно cot(φ).