Дано:
Угол 18° и его производные углы.
Найти:
а) sin 18°;
б) cos 18°;
в) sin 36°;
г) cos 54°.
Решение:
1. Для нахождения значений sin 18° и cos 18° можно использовать тригонометрические соотношения и некоторые известные формулы.
2. Используя формулу для sin 3θ, мы можем выразить sin 18°:
sin 3θ = 3sinθ - 4sin^3θ.
Подставим θ = 18°:
sin 54° = 3 * sin 18° - 4 * (sin 18°)^3.
3. Зная, что sin 54° = cos 36°, а cos 36° можно найти через sin 54° в тригонометрической таблице:
cos 36° ≈ 0.8090.
4. Подставляя в уравнение:
0.8090 = 3 * sin 18° - 4 * (sin 18°)^3.
5. Обозначим sin 18° как x:
4x^3 - 3x + 0.8090 = 0.
6. Решая это уравнение численно или с помощью специального программного обеспечения, получаем:
x ≈ 0.3090 (это значение для sin 18°).
Следовательно:
sin 18° ≈ 0.3090.
7. Теперь найдем cos 18° используя основное тригонометрическое соотношение:
cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1.
cos 18° = sqrt(1 - sin^2(18°)).
cos 18° = sqrt(1 - (0.3090)^2) ≈ sqrt(1 - 0.0956) ≈ sqrt(0.9044) ≈ 0.9508.
Теперь:
cos 18° ≈ 0.9510.
8. Далее находим sin 36°:
sin 36° = sin(2 * 18°) = 2 * sin(18°) * cos(18°).
sin 36° = 2 * 0.3090 * 0.9510 ≈ 0.5860.
9. Найдем cos 54°:
cos 54° = sin 36° ≈ 0.5878.
Теперь подведем итог:
Ответ:
а) sin 18° ≈ 0.3090;
б) cos 18° ≈ 0.9510;
в) sin 36° ≈ 0.5880;
г) cos 54° ≈ 0.5878.
Сравнение с тригонометрическими таблицами:
sin 18° ≈ 0.3090 (принимается),
cos 18° ≈ 0.9510 (принимается),
sin 36° ≈ 0.5880 (принимается),
cos 54° ≈ 0.5878 (принимается).