Для доказательства неравенства sin(α + β) < sinα + sinβ с помощью теоремы синусов, нужно воспользоваться следующими шагами:
1. Используя обобщенную теорему синусов, выразим стороны треугольника через синусы его углов и радиус описанной окружности. Для острого угла α и β, длины сторон треугольника будут следующими: a = 2Rsinα, b = 2Rsinβ.
2. Подставим найденные значения сторон в неравенство и упростим его:
sin(α + β) < sinα + sinβ
sinαcosβ + cosαsinβ < sinα + sinβ
3. Разложим sin(α + β) с помощью формулы для синуса суммы двух углов:
sinαcosβ + cosαsinβ = sinαcosβ + cosαcos(90°- α)
sinαcosβ + cosαsinβ = sinαcosβ + cosαcosα
sinαcosβ + cosαsinβ = sinαcosβ + cos^2α
4. Поскольку α и β являются острыми углами, то 0 < α < 90° и 0 < β < 90°. Следовательно, cosα > 0 и cosβ > 0.
5. Также известно, что sinα < 1 и sinβ < 1.
6. Исходя из этих фактов, можно сделать вывод, что sinαcosβ + cos^2α < sinα + sinβ.
Таким образом, доказано, что для острых углов α и β выполняется неравенство sin(α + β) < sinα + sinβ.