Дано: α + β + γ + ε = 180°
Найти: sin(α + β) · sin(γ + ε)
Решение:
Используем теорему Птолемея для произвольного четырёхугольника. Теорема Птолемея гласит, что для произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей:
AB · CD + BC · AD = AC · BD.
В нашем случае рассмотрим четырехугольник, где α и β - углы между сторонами AB и BC, а γ и ε - углы между сторонами CD и DA. Пусть эти углы образуют окружность, и мы будем применять формулу Птолемея.
Рассмотрим четыре угла в нашем случае. У нас есть четыре угла, каждый из которых можно представить как часть суммы углов окружности, которая равна 180°:
α + β + γ + ε = 180°
Для использования формул синусов, выразим интересующую нас формулу через синусы:
1. Воспользуемся следующим тригонометрическим тождеством для суммы углов:
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
sin(γ + ε) = sinγ cosε + cosγ sinε
2. Перемножим обе стороны:
sin(α + β) · sin(γ + ε) = (sinα cosβ + cosα sinβ) · (sinγ cosε + cosγ sinε)
3. Раскроем скобки и упростим:
sin(α + β) · sin(γ + ε) = sinα cosβ · sinγ cosε + sinα cosβ · cosγ sinε + cosα sinβ · sinγ cosε + cosα sinβ · cosγ sinε
4. Упростим это выражение, применяя следующие соотношения и свойства:
sinα cosβ · sinγ cosε + cosα sinβ · sinγ cosε = (sinα · sinγ · cosβ · cosε + cosα · sinβ · sinγ · cosε)
sinα cosβ · cosγ sinε + cosα sinβ · cosγ sinε = (sinα · cosγ · cosβ · sinε + cosα · cosγ · sinβ · sinε)
5. Сгруппируем и упростим:
sinα · sinγ · cosβ · cosε + cosα · sinβ · sinγ · cosε + sinα · cosγ · cosβ · sinε + cosα · cosγ · sinβ · sinε
Таким образом, результат раскрытия и упрощения равен:
sin(α + β) · sin(γ + ε) = sinα · sinγ + sinβ · sinε.
Ответ:
sin(α + β) · sin(γ + ε) = sinα · sinγ + sinβ · sinε.