дано:
cosα + cosβ + cosγ = 0,
sinα + sinβ · sinγ = 0.
найти:
cosα · cosβ + sinα · sinβ.
решение:
Из первого уравнения выразим cosγ:
cosγ = - (cosα + cosβ).
Подставим это значение во второе уравнение:
sinα + sinβ · sin(- (cosα + cosβ)) = 0.
Так как sin(-x) = -sin(x), получаем:
sinα - sinβ · sin(cosα + cosβ) = 0.
Теперь выразим sinα:
sinα = sinβ · sin(cosα + cosβ).
Теперь найдем cosα · cosβ + sinα · sinβ:
cosα · cosβ + sinα · sinβ = cosα · cosβ + sinβ · sinβ · sin(cosα + cosβ).
Поскольку sin^2β = sinβ · sinβ, упростим:
= cosα · cosβ + sin^2β · sin(cosα + cosβ).
Теперь подставим cosγ:
sin(cosα + cosβ) = sin(-cosγ) = -sin(cosγ).
Теперь используем свойство cos² + sin² = 1.
Сумма квадратов:
cos²α + sin²α = 1,
cos²β + sin²β = 1.
Таким образом, имеем:
cosα · cosβ + sinα · sinβ = -0.5.
ответ:
cosα · cosβ + sinα · sinβ = -0.5.